国家天元数学西北中心定于4月16日至4月27日在腾讯会议室线上举办“孤立子和可积系统前沿理论讲习班”的第二期活动。该讲习班是西北中心2022年促进西部地区发展活动之一，主要为从事相关研究的青年教师及在校研究生系统性讲授孤立子和可积系统理论中的一些基本理论和核心方法，促进西北及周边地区教师人才在基础数学方面研究质量的提升。本次讲习班第二期活动的课程内容主要涉及可积系统的反散射变换和Darboux-Bäcklund变换，包括六次课程（每次两个小时）和三个前沿学术讲座。

一、课程安排

时间：4月16日-4月27日

地点：腾讯会议807-3457-5763（无密码）

二、课程简介

可积系统理论的核心问题是研究非线性偏微分方程、非线性常微分方程、非线性微分差分方程、非线性差分方程的可积性和可解性。这类非线性可积方程蕴藏着丰富的数学结构，如Lax表示、无穷多守恒量、双Hamiltonian 结构，多孤子解等。可积系统理论和数学的多个分支，如偏微分方程、常微分方程、李群、李代数、微分几何、计算数学、特殊函数、正交多项式、随机矩阵等密切相关。在多个学科领域，如流体力学、等离子体物理、非线性光学、经典场论和量子场论中，包含着若干和可积系统理论密切相关的重要问题。

在本期系列课程中，我们将系统讲授非线性可积偏微分方程的反散射变换和Darboux-Bäcklund 变换的基本思想和基本方法。我们将给出KdV方程Cauchy 问题的反散射变换求解的基本方法以及AKNS可积系统的Darboux-Bäcklund变换的构造。本期讲习班活动分为六次课程（每次两个小时）和三个前沿学术讲座。

前沿讲座一：The Connection Between Spatial Discrete Integrable Equation Hierarchy and Integrable Nonlinear PDE Hierarchy

报告摘要：The theory of integrable nonlinear PDE hierarchy and spatial discrete integrable equation hierarchy is very important part of integrable system. In this talk, we will address the topic that the connection between spatial discrete integrable equation hierarchy and integrable nonlinear PDE hierarchy. We will review that how to get the integrability of the KdV hierarchy from the integrability of spatial discrete KdV hierarchy.

报告专家：

朱佐农，上海交通大学数学科学学院长聘教授，博士生导师。主要从事可积系统理论和应用方面的研究，在可积系统的若干重要问题的研究上取得一系列引人关注的创新性成果，在数学物理国际重要学术期刊，如Physica D、J. Differential Equations、J. Nonlinear Sci.、Phys. Rev. E、Proc. Roy. Soc. A、J. Phys. A、J. Math. Phys.等发表90多篇研究论文。先后主持国家自然科学基金面上项目6项和上海市浦江人才计划项目。先后学术访问美国、西班牙、加拿大、巴西、日本、墨西哥等国家的学术机构。现任数学物理领域国际重要学术期刊J. Nonlinear Math. Phys.的编委。

前沿讲座二：Elliptic Soliton Solutions: Tau Functions, Vertex Operators and Bilinear Identities

报告摘要：We establish a bilinear framework for elliptic soliton solutions which are composed by the Lamé-type plane wave factors and expressed using Weierstrass functions. The framework includes elliptic soliton τ functions in Hirota’s form, vertex operators to generate τ functions and the associated bilinear identities. These are investigated in detail for the KdV equation and sketched for the KP hierarchy. Degenerations by the periods of elliptic functions are investigated, giving rise to the bilinear framework associated with trigonometric/hyperbolic and rational functions. Reductions by dispersion relation are also considered by employing the so-called elliptic N-th roots of the unity. The talk is based on a recent paper (joint with Xing Li (李幸)), arXiv: 2204.01240.

报告专家：

张大军，上海大学数学系教授，博士生导师。主要从事离散可积系统与数学物理的研究，包括离散可积系统的直接方法、多维相容性的应用、空间离散下的可积结构与连续对应等。曾访问Turku大学、Leeds大学、剑桥牛顿数学研究所、Sydney大学等学术机构。先后主持国家自然科学基金面上项目5项。目前担任离散可积系统国际系列会议SIDE (Symmetries and Integrability of Difference Equations) 指导委员会委员(2012-)和数学物理领域国际重要学术期刊Journal of Physics A编委(2020-)。

前沿讲座三：Solutions of A Special Two-dimensional Lattice by Blaszak and Szum

报告摘要：In this talk, we study a special two-dimensional lattice equation proposed by Blaszak and Szum. We first construct the matrix integral solutions for the lattice equation and its Pfaffianized system. We show that the partition function of the Hermitian matrix model with unitary invariance gives the tau function of the lattice equation. The tau functions of the Pfaffianized system are expressed in terms of the partition function of orthogonal ensemble and  symplectic ensemble, respectively. Solitons, breathers and rational solutions to the lattice equation are derived based on Hirota's bilinear method. Asymptotic analysis and soliton interactions of rational solutions are investigated.  We find algebraic solitons and demonstrate the singular behavior of the deduced rogue waves.

报告专家：

虞国富，上海交通大学数学科学学院教授、博士生导师，副院长。2007年博士毕业于中国科学院数学与系统科学研究院，加拿大蒙特利尔大学博士后。主要从事孤立子与可积系统、特殊函数、正交多项式等方面的研究。在数学物理领域学术刊物上发表SCI论文40余篇。主持国家自然科学基金、上海市晨光计划、上海交通大学晨星青年学者奖励计划等多项研究课题。

三、联系人

刘小川 教授 西安交通大学

Email：liuxiaochuan@mail.xjtu.edu.cn

白佳宁 国家天元数学西北中心

Email：xbty@xjtu.edu.cn